定位
先知道這個節點屬於哪個章節、扮演什麼角色。
KNOWLEDGE BASE
從線性代數，
看見圖與網路的結構。
Adaline MathLab 的核心專業路徑是「線性代數 × 圖論」：從向量空間、線性映射與特徵值，走向鄰接矩陣、圖拉普拉斯與譜圖論；同時保留微積分基礎路徑。
LINEAR ALGEBRA × GRAPH THEORYVector Space↓Matrix & Eigenvalue↓Graph Matrix
AdjacencyLaplacian
↓Spectral Graph Theory連結
查看前置知識，以及它會支撐哪些後續定理與例題。
回述
用自己的話說出定義、條件與結論，再進入文章或題目。
STRUCTURED MATH MAP
數學知識地圖
先選擇「線性代數 × 圖論」或「微積分」，再依知識類型篩選，查看每個節點的前置與延伸關係。
CHAPTER
01 向量空間與線性映射
6 個節點DE定義
向量空間
以加法與純量乘法的封閉性及公理，定義線性代數運作的基本空間。
延伸：線性獨立與生成、線性映射 →
DE定義
線性獨立與生成
辨認一組向量是否含有冗餘，以及它們能生成多大的空間。
← 前置：向量空間延伸：基底與維度 →
TH定理
基底與維度
有限維向量空間的任意兩組基底具有相同元素個數，因此維度有良好定義。
← 前置：線性獨立與生成延伸：線性映射的矩陣表示 →
DE定義
線性映射
保留向量加法與純量乘法結構的函數。
← 前置：向量空間延伸：秩－零化度定理、線性映射的矩陣表示 →
TH定理
秩－零化度定理
定義域維度等於像空間維度與核空間維度之和。
← 前置：線性映射、基底與維度延伸：關聯矩陣的秩 →
PR性質
線性映射的矩陣表示
選定基底後，線性映射可以由矩陣表達；換基底會改變矩陣但不改變映射本身。
← 前置：基底與維度、線性映射延伸：特徵值與特徵向量 →
CHAPTER
02 特徵值與譜
5 個節點DE定義
特徵值與特徵向量
找出在線性映射作用下方向不變、只被縮放的特殊向量。
← 前置：線性映射的矩陣表示延伸：對角化判準、鄰接矩陣的譜 →
TH定理
對角化判準
當矩陣具有足夠多線性獨立的特徵向量時，可以相似於對角矩陣。
← 前置：特徵值與特徵向量、線性獨立與生成延伸：實對稱矩陣的譜定理 →
TH定理
實對稱矩陣的譜定理
實對稱矩陣具有實特徵值，且可由正交矩陣對角化。
← 前置：對角化判準延伸：鄰接矩陣的譜、Laplacian 的譜 →
PR性質
鄰接矩陣的譜
鄰接矩陣的特徵值反映圖的正則性、二分結構與 walk 的長期行為。
← 前置：特徵值與特徵向量、實對稱矩陣的譜定理、鄰接矩陣延伸：線性代數 × 圖論路徑總結 →
PR性質
Laplacian 的譜
圖拉普拉斯特徵值皆非負，並編碼連通性、切割與擴張等結構資訊。
← 前置：實對稱矩陣的譜定理、Laplacian 半正定延伸：代數連通度 →
CHAPTER
03 圖的矩陣表示
6 個節點DE定義
圖、頂點與邊
圖由頂點集合與描述頂點關係的邊集合組成，是研究離散網路結構的基本語言。
延伸：鄰接矩陣、關聯矩陣、圖拉普拉斯矩陣 L = D − A →
DE定義
鄰接矩陣
以矩陣元素記錄頂點之間是否相鄰，將圖結構轉譯成線性代數物件。
← 前置：圖、頂點與邊、線性映射的矩陣表示延伸：矩陣冪與 walk 計數、鄰接矩陣的譜 →
LE引理
矩陣冪與 walk 計數
鄰接矩陣 A 的 k 次方中，第 i,j 項等於從 i 到 j、長度為 k 的 walk 數量。
← 前置：鄰接矩陣延伸：用 trace(A³) 計算三角形 →
CO推論
用 trace(A³) 計算三角形
無向簡單圖的三角形數可由 tr(A³)/6 得到。
← 前置：矩陣冪與 walk 計數
DE定義
關聯矩陣
描述頂點與邊的關聯，並連接圖的方向、流量與線性方程。
← 前置：圖、頂點與邊延伸：關聯矩陣的秩、圖拉普拉斯矩陣 L = D − A →
TH定理
關聯矩陣的秩
具有 n 個頂點、c 個連通分量的圖，其定向關聯矩陣秩為 n−c。
← 前置：關聯矩陣、秩－零化度定理延伸：零特徵值與連通分量 →
CHAPTER
04 譜圖論
6 個節點DE定義
圖拉普拉斯矩陣 L = D − A
以度數矩陣減去鄰接矩陣，將圖的連通性與能量轉成對稱半正定矩陣。
← 前置：鄰接矩陣、關聯矩陣延伸：Laplacian 半正定、零特徵值與連通分量 →
LE引理
Laplacian 半正定
對任意向量 x，xᵀLx 是所有相鄰頂點差值平方的總和，因此不小於零。
← 前置：圖拉普拉斯矩陣 L = D − A延伸：Laplacian 的譜 →
TH定理
零特徵值與連通分量
圖拉普拉斯矩陣零特徵值的重數，恰好等於圖的連通分量數。
← 前置：圖拉普拉斯矩陣 L = D − A、關聯矩陣的秩延伸：代數連通度 →
DE定義
代數連通度
Laplacian 的第二小特徵值衡量圖的連通強度，亦稱 Fiedler value。
← 前置：零特徵值與連通分量、實對稱矩陣的譜定理延伸：以 Fiedler 向量切分網路 →
EX例題
以 Fiedler 向量切分網路
利用 Laplacian 特徵向量將頂點分群，觀察網路中的社群與瓶頸。
← 前置：代數連通度延伸：線性代數 × 圖論路徑總結 →
SU總結
線性代數 × 圖論路徑總結
從向量空間、矩陣與特徵值走向鄰接矩陣、Laplacian 與譜圖論。
← 前置：以 Fiedler 向量切分網路、用 trace(A³) 計算三角形